Examen 7: Formas diferenciales = Ondas

CONCEPTO DE DIFERENCIAL

El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad se mantiene.

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:

y-f(x0)=m(x-x0)

Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.

Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:

(1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.

(2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL (INFORMAL)

Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f '(x) dx.

Será común en física hablar de un diferencial de diversos parámetros, tales como diferencial de área para hacer referencia a una pequeña área, diferencial de carga para comenzar a analizar la carga total contenida en un cuerpo, diferencial de línea, diferencial de volumen, en fin una gran cantidad de aplicaciones.

ECUACIÓN DE ONDA

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. 

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:

Donde  es el laplaciano y donde  es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.

Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso,  deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

CURVAS DE NIVEL

Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciaresy las profundidades marinas. La impresión del relieve suele acentuarse dando un sombreado que simule las sombras que produciría el relieve con una iluminación procedente del Norte o del Noroeste. En los mapas murales, las superficies comprendidas entre dos curvas de nivel convenidas se imprimen con determinadas tintas convencionales (tintas hipsométricas). Por ejemplo: verde oscuro para las depresiones situadas por debajo del nivel del mar, verdes cada vez más claros para las altitudes medias, y sienas cada vez más intensos para las grandes altitudes, reservando el rojo o violeta para las mayores cumbres de la tierra.

DECAIMIENTO BETA

En el proceso de decaimiento Beta: Un neutrón decae en un protón y un electrón (radiación beta).

Este proceso también requiere la emisión de un neutrino (en este caso un anti- neutrino) para mantener el balance de cantidad de movimiento y energía. En la emisión beta, varían el número de protones; en cambio el número de neutrones del núcleo resultante; pero, la suma de ambos (el número másico) permanece constante.

Las partículas beta son electrones del núcleo. Este término (partícula beta), es usado en la descripción de la radioactividad. A su vez, la radioactividad se refiere a las partículas emitidas por los núcleos atómicos, estas emisiones son resultado de una inestabilidad nuclear, debido a esto es que existen muchos isótopos nucleares inestables que emiten radiación.

La emisión del positrón (antipartícula del electrón) también es parte del decaimiento beta.

Universidad Nacional Autónoma de México

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Examen 7 Formas diferenciales Ondas

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